1.2 ভৌত রাশির মাত্রা

ভৌত রাশির মাত্রা:

আগের আলোচনা থেকে আমরা জেনেছি যে, ভৌত রাশিগুলো এক বা একাধিক মৌলিক রাশি দ্বারা গঠিত হয়। সুতরাং, যে কোনো ভৌত রাশিকে বিভিন্ন সূচকের এক বা একাধিক মৌলিক রাশির গুণফল হিসাবে প্রকাশ করা যায়।

মাত্রা ও মাত্রাসূত্র:

কোনো ভৌত রাশিতে উপস্থিত মৌলিক রাশিগুলির ঘাত বা সূচককে (Power) তার মাত্রা (dimension) বলে।

মূল রাশি গুলির উপর কোন ভৌত রাশির নির্ভরতা (কত মাত্রায় আছে) যে রাশিমালা দ্বারা প্রকাশ করা হয়, তাকে ওই ভৌত রাশির মাত্রাসূত্র (dimensional formulae) বলা হয়।

মূল রাশিগুলির মাত্রা:

মাত্রা জানা থাকলে যেকোনো লব্ধ এককের সঙ্গে মূল বা প্রাথমিক একক গুলির সম্পর্ক নির্ণয় করা যায়। যেমন, ত্বরণ একটি লব্ধ রাশি। আমরা জানি, ত্বরণ = বেগ/সময়।

ত্বরণের মাত্রা = বেগের মাত্রা/সময়ের মাত্রা = `\frac{LT^{-1}}T=LT^{-2}`

অর্থাৎ, ত্বরণের মধ্যে দৈর্ঘ্যের মাত্রা 1 এবং সময়ের মাত্রা -2।

খেয়াল রাখবে, এ ধরনের বিবৃতিতে মানগুলো বিবেচিত হয় না, শুধু  ভৌত রাশিগুলির গুণগত প্রকারের সমাবেশ ঘটে। তাই, উদাহরণ হিসেবে বলা যায়, প্রাথমিক বেগ, অন্তিম বেগ, বেগের পরিবর্তন, গড়বেগ, দ্রুতি - এদের সবার মাত্রা একই, `LT^{-1}`। কারণ সবগুলোকেই দৈর্ঘ্য/সময় রূপে প্রকাশ করা যায়।

কিছু লব্ধ রাশির মাত্রা:

আয়তনের মাত্রা = `L^{3}`

ঘনত্বের মাত্রা = ভরের মাত্রা/আয়তনের মাত্রা = `ML^{-3}`

বলের মাত্রা = ভরের মাত্রা × আয়তনের মাত্রা = `MLT^{-2}`

তড়িদাধানের মাত্রা = তড়িৎ প্রবাহের মাত্রা × সময়ের মাত্রা = `IT`

কার্যের মাত্রা = বলের মাত্রা × সময়ের মাত্রা = `ML^{2}T^{-2}`

যে সমীকরণের সাহায্যে কোনো রাশির মাত্রা প্রকাশ করা হয় তাকে মাত্রা সমীকরণ (dimensional equation)  বলে। মাত্রা সমীকরণে মাত্রা নির্দেশ করতে তৃতীয় বন্ধনী [ ] ব্যবহার করা হয়। যেমন, বলের মাত্রা সমীকরণ, `[F] = [MLT^{-2}]`।

খেয়াল রাখবে, ধ্রুবকও (constants) মাত্রা যুক্ত হতে পারে। যেমন Plank's constant (h), Universal gravitational constant (G)।

মাত্রাহীন রাশি (Dimensionless Quantity): 

কোনো কোনো ভৌত রাশিকে দুটি সমান মাত্রার ভৌত রাশির অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা গেলে, এদের মাত্রা হয় 1। এরা মাত্রাহীন ভৌত রাশি।

যেমন কোণ = বৃত্তচাপ/ব্যাসার্ধ।

কোণের মাত্রা = `\frac{L}{L} = 1`

মাত্রা বিশ্লেষণ (Dimensional Analysis):

মৌলিক রাশিগুলির উপর কোনো ভৌত রাশির নির্ভরতা অনুসন্ধান করার নামই মাত্রা বিশ্লেষণ।

সমমাত্রিক নীতি (Principle of Dimensional homogeneity):

কোনো সম্পর্ক বা সমীকরণের দুটি দিকের মাত্রা সব সময় অভিন্ন হবে।

মাত্রা বিশ্লেষণের গুরুত্ব:

1. একই মাত্রা বিশিষ্ট রাশি গুলিকে যোগ বা বিয়োগ করতে পারি। যেমন, 5 kg ভরের সাথে 10 m দৈর্ঘ্য যোগ বা বিয়োগ করা যায় না।

2. `(1+x+x^{2}+x^{3})` - এই ধরনের রাশিমালায় `x` -কে মাত্রাহীন হতে হবে। না হলে, বিভিন্ন পদগুলির মাত্রা বিভিন্ন হবে এবং যোগ বা বিয়োগ সম্ভব হবে না।

3. কোনো ভৌত রাশির মান একটি একক পদ্ধতি থেকে অন্য একক পদ্ধতিতে রূপান্তর: 

ধরো, কোনো ভৌত রাশির মাত্রা `M^{x}L^{y}T^{z}`।

দুটি আলাদা একক পদ্ধতিতে ওই ভৌত রাশির একক যথাক্রমে `u_1 = M_1^{x}L_1^{y}T_1^{z}` এবং `u_2 = M_2^{x}L_2^{y}T_2^{z}`। যদি ওই ভৌত রাশির মান ওই দুটি পদ্ধতিতে `n_1` এবং `n_2` হয়, তাহলে,

`n_1u_1 = n_2u_2`

বা, `n_1M_1^{x}L_1^{y}T_1^{z} = n_2M_2^{x}L_2^{y}T_2^{z}`

বা, `n_2 = n_1 (\frac{M_1}{M_2})^{x}(\frac{L_1}{L_2})^{y}(\frac{T_1}{T_2})^{z}`

যদি দুটি একক পদ্ধতিতে M, L ও T এর পারস্পরিক সম্পর্ক জানা থাকে, তাহলে আমরা রূপান্তর গুণক (Conversion factor), `n_2`-এর মান বের করতে পারি।

উদাহরণ 1: SI এবং CGS পদ্ধতিতে বলের একক যথাক্রমে newton ও dyne। 1 newton বল কত dyne বলের সমান তা নির্ণয় করো।

আমরা জানি, বলের মাত্রা `MLT^{-2}`।

ধরা যাক, CGS ও SI একক পদ্ধতিতে বলের একক যথাক্রমে `u_1=` dyne `= M_1\cdotL_1\cdotT_1^{-2}` এবং `u_2=` newton `= M_2\cdotL_2\cdotT_2^{-2}`। যেখানে `M_1`, `L_1` এবং `T_1` হলো CGS পদ্ধতিতে যথাক্রমে ভর, দৈর্ঘ্য এবং সময়ের একক এবং `M_2`, `L_2` এবং `T_2` হলো SI পদ্ধতিতে যথাক্রমে ভর, দৈর্ঘ্য এবং সময়ের একক।

ধরো, `1` newton `= n` dyne।

সুতরাং, বলের মাত্রা অনুযায়ী,

`1×M_2L_2T_2^{-2} = n×M_1L_1T_1^{-2} `

বা, `n = (\frac{M_2}{M_1})(\frac{L_2}{L_1})(\frac{T_2}{T_1})^{-2}`

আমরা জানি, `M_1 = 1 g`, `L_1 = 1 cm`, `T_1 = 1 s`, `M_2 = 1 kg = 1000 g`, `L_2 = 1 m = 100 cm`, `T_2 = 1 s`

সুতরাং,

`n = (\frac{M_2}{M_1})(\frac{L_2}{L_1})(\frac{T_2}{T_1})^{-2}`

`n = (\frac{1000 g}{1 g})(\frac{100 cm}{1 cm})(\frac{1 s}{1 s})^{-2}`

   `= 10^5`

উদাহরণ 2: তাপের একটি একক হল ক্যালোরি যার মান `4.2 J (1 J = 1 kg\cdot m^{2}\cdot s^{-2})`। ধরা যাক, এমন একটি একক পদ্ধতি ব্যবহৃত হচ্ছে যাতে ভর দৈর্ঘ্য ও সময়ের একক যথাক্রমে `\alpha` kg, `\beta` m ও `\delta` s। প্রমাণ করো, এই নতুন পদ্ধতিতে এক ক্যালোরির মান `4.2×\alpha^{-1}\beta^{-2}\delta^{2}`।

আমরা জানি, তাপ এক প্রকার শক্তি। তাই তাপের মাত্রা `ML^{2}T^{-2}`।

ধরি, নতুন পদ্ধতিতে ভর, দৈর্ঘ্য ও সময়ের একক যথাক্রমে X, Y এবং Z।

তাহলে, নতুন পদ্ধতিতে তাপের একক `X\cdot Y^{2}\cdot Z^{-2}`।

আমরা জানি, কোনো পদ্ধতিতে কোনো ভৌত রাশির একক `u_1` ও মান `n_1` এবং অন্য কোনো পদ্ধতিতে ভৌত রাশিটির একক `u_2` ও মান `n_2` হলে,

`n_1u_1 = n_2u_2`

বা, `n_2 = n_1 \cdot (\frac{u_1}{u_2})`

দেওয়া আছে, `n_1 = 4.2`, `u_1 = kg\cdot m^{2}\cdot s^{-2}`, `n_2 = ?`, `u_2 = X\cdot Y^{2}\cdot Z^{-2}`, `1 X = \alpha` kg, `1 Y = \beta` m এবং `1 Z = \delta` s

তাহলে, `n_2 = 4.2 × (\frac{1kg}{\alpha kg})(\frac{1m}{\beta m})^{2}(\frac{1s}{\delta s})^{-2}` 

      `= 4.2 × \alpha^{-1}\beta^{-2}\delta^{2}`

 সুতরাং, নতুন পদ্ধতিতে এক ক্যালোরির মান `4.2×alpha^{-1}\beta^{-2}\delta^{2}`।

4. কোনো  সমীকরণের নির্ভুলতা পরীক্ষা: 

কোনো সমীকরণের দুদিকের মাত্রা বিশ্লেষণ করে সমমাত্রিক নীতির সাহায্যে আমরা সমীকরণটি মাত্রাগতভাবে নির্ভুল কিনা বুঝতে পারি।

উদাহরণ 1: আমরা জানি, u প্রাথমিক বেগ ও a সমত্বরণে কোনো কণা s দূরত্ব অতিক্রম করার পর v বেগ অর্জন করলে, 

`v^2=u^2+2as`

এখন, 

`[v^2] = [(LT^{-1})^2] = [L^2T^{-2}]`

`[u^2] = [(LT^{-1})^2] = [L^2T^{-2}]`

`[2as] = [1\cdot LT^{-2}\cdot L] = [L^2T^{-2}]`

সুতরাং, সমীকরণটি মাত্রাগতভাবে সঠিক।

উদাহরণ 2: মাত্রা বিশ্লেষণ এর সাহায্যে `V =\frac{πpr^4}{8\eta l}` রাশিটির সম্পর্ক সঠিক কিনা যাচাই করো। এখানে হলো `V` হলো প্রতি একক সময়ে তরলে প্রবাহিত আয়তন, `p` হলো প্রবাহীনলের দুই প্রান্তের চাপের পার্থক্য, `r` হল প্রবাহীনলের ব্যাসার্ধ, `\eta` তরল মাধ্যমের সান্দ্রতাঙ্ক এবং `l` হল প্রবাহী নলের দৈর্ঘ্য।

`V =`  তরলের আয়তন/সময়।

`V`-এর মাত্রা `= \frac{L^3}{T} = L^3T^{-1}`

`p =` বল/ক্ষেত্রফল।

`p`-এর মাত্রা ` = ML^{-1}T^{-2}`

`r`-এর মাত্রা ` = L`

`l`-এর মাত্রা ` = L`

`\eta`-এর মাত্রা ` = ML^{-1}T^{-1}` (তরলের সান্দ্রতা বা viscosity অধ্যায়ে জানবে।)

আবার,

`\frac{πpr^4}{8\eta l}`-এর মাত্রা ` = \frac{ML^{-1}T^{-2}\cdot L^4}{ML^{-1}T^{-1}\cdot L} = L^3T^{-1}`

সুতরাং, সম্পর্কটি মাত্রাগতভাবে সঠিক।

5. বিভিন্ন ভৌত রাশির পারস্পরিক সম্পর্ক নির্ণয়:

সরল দোলক (Simple Pendulum): 

একটি ছোট ভারী পিণ্ডকে (bob) একটি নগন্য ভরের অপ্রসার্য সুতো দিয়ে দৃঢ় কোনো আলম্ববিন্দু থেকে ঝোলালে সরল দোলক তৈরি হয়। একটি সম্পূর্ণ দোলনের জন্যে যে সময় লাগে, সেটি তার দোলনকাল (T)। এটি পিন্ডের ভর (`m`), দোলকের দৈর্ঘ্য (`l`) ও অভিকর্ষজ ত্বরণ (`g`) - এর উপর নির্ভর করে। আমরা লিখতে পারি,

`T = km^xl^yg^z`

`k` একটি মাত্রাহীন ধ্রুবক এবং x, y, z সংখ্যাসূচক।

`T` - এর মাত্রা ` = T`।

`m` - এর মাত্রা ` = M`।

`l` - এর মাত্রা ` = L`।

`g` - এর মাত্রা ` = LT^{-2}`।

তাহলে,

`[M^0L^0T^1] = [1\cdot M^xL^y(LT^{-2})^z]`

বা, `[M^0L^0T^1] = [M^xL^{y-2z}T^{-2z}]`

ভরের মাত্রা থেকে পাওয়া যায়, `x =0`

সময়ের মাত্রা থেকে পাওয়া যায়, `-2z = 1` বা, `z = -\frac{1}{2}`

দৈর্ঘ্যের মাত্রা থেকে পাওয়া যায়, `y+z = 0` বা `y = -z = \frac{1}{2}`

সুতরাং, `T = km^0l^{\frac{1}{2}}g^{-\frac{1}{2}} = k \sqrt{\frac{l}{g}}`

উদাহরণ 2: গ্যাসীয় মাধ্যমে শব্দের বেগ (`v`), গ্যাসের চাপ (`p`) ও ঘনত্ব (`\rho`) -এর উপর নির্ভরশীল। মাত্রা বিশ্লেষণ প্রয়োগ করে `v`, `p` এবং `\rho` - এর মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করো।

ধরা যাক, সম্পর্কটি হলো `v = kp^x\rho^y`

যেখানে `k` একটি মাত্রাহীন ধ্রুবকরাশি এবং x, y সংখ্যাসূচক।

`v` - এর মাত্রা `= LT^{-2}`

`p` - এর মাত্রা `= ML^{-1}T^{-2}`

`\rho` - এর মাত্রা `= ML^{-3}`

এখন সমীকরণের দুইদিকে মাত্রাগুলো বসালে পাবো,

`[LT^{-1}] = [(ML^{-1}T^{-2})^x(ML^{-3})^y]`

বা, `[LT^{-1}] = [(M^{x+y}L^{-x-3y}T^{-2x}]`

সময়ের মাত্রা থেকে পাওয়া যায়, `-2x = -1` বা, `x = \frac{1}{2}`

ভরের মাত্রা থেকে পাওয়া যায়, `x+y = 0` বা, `y = -x = - \frac{1}{2}`

সুতরাং, `v = kp^{\frac{1}{2}}\rho^{-\frac{1}{2}} = k \sqrt{\frac{p}{\rho}}`

মাত্রা বিশ্লেষণের অসম্পূর্ণতা:

1. কোন সম্পর্কে থাকা ধ্রুবকের মান নির্ণয় করা সম্ভব নয়। যেমন সরল দোলকের ক্ষেত্রে,  `T = k \sqrt{\frac{l}{g}}`সম্পর্কটিতে  ধ্রুবক k - এর মান হয় `2π`। সেটি মাত্রা বিশ্লেষণ থেকে জানা যায় না।

2. এই পদ্ধতিতে কোনো রাশি ভেক্টর (Vector) না স্কেলার (Scalar) তা বোঝা যায় না।

3. কোনো সমীকরণে ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক (trigonometric function) যেমন `sin\theta`, `cos\theta` ইত্যাদি বা exponential function যেমন `e^x` থাকলে, এটি প্রযোজ্য নয়।

4. কোন সম্পর্কে যদি একটি মাত্রাযুক্ত ধ্রুবক থাকে, তবে সম্পর্কটি নির্ণয় করা সম্ভব নয়। যেমন নিউটনের মহাকর্ষ সূত্রে মাত্রাযুক্ত ধ্রুবক G এর উপস্থিতির জন্য F, `m_1`, `m_2` এবং r - এর সম্পর্কটি নির্ণয় করা সম্ভব নয়।

5. কোনো সম্পর্কে যদি একটি মাত্রাহীন রাশি উপস্থিত থাকে, তবে সম্পর্কটির বাকি রাশিগুলির সঙ্গে মাত্রাহীন রাশিটি কীভাবে সম্পর্কযুক্ত তা নির্ণয় করা সম্ভব নয়। যেমন, কোনো বস্তুর ওপর কৃতকার্য নির্ভর করে বলের মান, বস্তুর সরণ এবং বলের দিক ও সরণের দিকের মধ্যবর্তী কোণের উপর। যেহেতু কোণ একটি মাত্রাহীন রাশি, তাই সম্পর্কটি মাত্রা বিশ্লেষণের সাহায্যে নির্ণয় করা সম্ভব নয়।